Estudante resolveu em uma semana um problema de 50 anos

Vários são as teorias que grandes pensadores fazem. Mas algumas delas são tão complexas, que nem os próprios pensadores conseguem resolvê-las. E a resposta fica em aberto por anos, milhares de anos ou até mesmo sem solução para sempre. A teoria do nó era uma dessas que não tinha resultado. Bom, até agora.

Em menos de uma semana, Lisa Piccirillo, estudante de graduação, conseguiu resolver esse famoso problema, sobre um nó bizarro que foi descoberto pelo matemático John Horton Conway há mais de 50 anos atrás.

A teoria é o estudo dos nós matemáticos. E por mais que ela tenha se inspirado nos nós da vida real, na matemática eles são um pouco diferentes. Nela, as pontas dos nós não podem ser desfeitas.

Desde a existência da teoria, seus fundadores fizeram uma tabela com mais de seis bilhões de nós e enclaves, que são nós de  vários componentes que são entrelaçados uns com os outros.

O problema em questão é chamado de “nó de Conway” e a questão é saber se em enclave que foi descoberto a mais de 50 anos faz parte, ou então se é uma fatia, de um nó de uma dimensão maior.

Esses fatiamentos são uma das primeiras perguntas feitas pelos teóricos quando os nós estão em espaços de dimensão mais alta. Os matemáticos conseguiram responder essa pergunta para os milhares de nós com 12 ou menos enclaves. Mas o que não tinha resposta era o nó de Conway que tem 11 cruzamentos.

Resposta

A primeira vez que Piccirillo ouviu falar desse problema foi em 2018 quando ela foi para uma conferência sobre topologia e geometria. Então ela pensou que seria interessante usar uma técnica que ela estava desenvolvendo, enquanto estudava na Universidade do Texas, para tentar resolver o problema.

E alguns dias depois ela tinha a resposta, o nó de Conway não era uma fatia. Depois disso ela se encontrou com seu professor da faculdade, Cameron Gordon, e comentou sua solução. Claramente seu professor ficou muito empolgado e falou para ela que ela iria para o Annals of Mathematics, que é uma das principais revistas científicas da disciplina.

“Ele começou a gritar: ‘Por que você não está mais animada?’”, contou Piccirillo.

“Acho que ela não reconheceu quão antigo e famoso esse problema era”, complementou Gordon.

E realmente a descoberta de Piccirillo foi publicada na revista em fevereiro. Por conta dessa resolução, e outros trabalhos que ela tinha feito, ela teve e aceitou a oferta de emprego no Instituto de Tecnologia de Massachusetts (MIT) e deve começar a trabalhar lá em julho.

Problema

Conway morreu com o novo coronavírus em abril desse ano e fez várias contribuições  para a matemática. A primeira vez que ele teorizou sobre nós foi na década de 1950, na sua adolescência. Ele criou uma forma simples de listar todos os nós que tivessem 11 cruzamentos.

O mistério do nó de Conway é porque era sabido que ele é, topologicamente, uma fatia, mas não se pode dizer se essa fatia é lisa ou amassada. Isso porque ele tem uma espécie de irmão, que é uma coisa conhecida como mutante, que é uma fatia lisa.

Esse mutante é criado quando o nó de Conway é desenhado no papel, cortado umc erto fragmento, e virá-lo e juntar as pontas soltas. Isso resulta em outro nó, que é chamado de Kinoshita-Terasaka.

Já que o Kinoshita-Terasaka é uma fatia lisa e está intimamente ligado com o nó de Conway, o nó de Conway consegue enganar todas as ferramentas que os matemático usam para tentar detectar os nós que não são faitas.

Novo olhar

E Piccirillo se encontrou com esse problema justamente em uma época na qual ela estava pensando em uma nova forma de relacionar dois nós, além da mutação. E todo nó tem uma forma quadridimensional associada, que é chamada de traço, e é criada colocando o nó no limite de uma bola 4D e então o costurando com tipo um “gorro” no topo.

Os nós diferentes podem ter o mesmo traço quadridimensional. E, o mais importante, os irmãos traçados sempre tem o mesmo status. Então os dois ou  são fatia ou então não são fatia.

Mas construir esses irmãos traçados não é uma coisa fácil. Por sorte Piccirillo é uma especialista. E com uma combinação de reviravoltas inteligentes ela conseguiu criar um nó complicado com o mesmo traço que o nó de Conway. E conforme foi provado pela ferramente chamada de invariante de Rasmussen, não é uma fatia lisa. Por isso, o nó de Conway também não pode ser.