Pesquisadores solucionam equação que desafia matemáticos há quase um século

Os matemáticos da Universidade da Califórnia em San Diego, nos Estados Unidos, Jacques Verstraete e Sam Mattheus, encontraram a solução para um problema que parecia não ter solução na Teoria de Ramsey: a equação r(4,t).

A descoberta foi publicada em março na revista Annals of Mathematics. Outros profissionais tiveram pouco progresso na solução dos problemas de Ramsey desde a década de 1930. Inclusive, a solução para r(4,t) levou quase um século para ser alcançada.

Em um comunicado, um dos responsáveis afirma que “se você considera um problema difícil e se vê preso, isso geralmente indica que é um bom problema”.

Ele brinca dizendo que precisou ‘revidar o problema’ para encontrar a solução que fosse mais satisfatória. Todo o processo foi documentado, com autores de base e referenciais usados pela equipe.

O problema de Ramsey

Via Revista Galileu

Na linguagem matemática, um grafo consiste em pontos conectados por linhas.

A teoria de Ramsey sugere que em um grafo suficientemente grande, haverá uma ordem específica presente – seja um conjunto de pontos sem conexões entre eles ou um grupo de pontos conectados por todas as linhas possíveis (esses conjuntos são conhecidos como “cliques”).

Esse esquema se representa por r(s,t), onde ‘s’ são os pontos de conexão com linhas e ‘t’ são os pontos sem conexões.

O problema de Ramsey mais famoso, r(3,3), também chamado de “teorema dos amigos e estranhos”, tem uma explicação simples através de uma analogia com uma festa: em um grupo de seis pessoas, você sempre encontrará pelo menos três indivíduos que se conhecem ou três que não se conhecem. A resposta para r(3,3) é seis.

Na prática, os profissionais consideram isso como uma verdade fundamental, uma lei da natureza. Independentemente da situação ou das seis pessoas escolhidas, você sempre encontrará três que se conhecem ou três que não se conhecem. Pode até haver mais, mas é garantido que haverá pelo menos três em uma das situações.

Seguindo essa linha de raciocínio, os matemáticos têm buscado soluções para problemas como r(4,4), r(5,5) e r(4,t). A solução para r(4,4) é 18, descoberta por Paul Erdös e George Szekeres na década de 1930.

O recente estudo finalmente revelou a resposta para r(4,t), mas o problema de r(5,5) ainda permanece um enigma.

Solução de r(4,t)

Via Revista Galileu

Verstraete encontrou a equação r(4,t) pela primeira vez no livro “Erdös on Graphs: His Legacy of Unsolved Problems”. Em 2019, ele e seu colega Dhruv Mubayi, da Universidade de Illinois em Chicago, utilizaram grafos pseudoaleatórios para abordar r(3,t).

A descoberta de Verstraete e Mubayi revelou que a amostragem desses conjuntos pseudoaleatórios muitas vezes proporciona limites mais precisos nos números de Ramsey do que os grafos puramente aleatórios.

Esses limites refinados ajudaram a reduzir a gama de estimativas possíveis, aproximando-os da solução.

Contudo, Verstraete enfrentou desafios ao tentar construir um grafo pseudoaleatório que pudesse contribuir para resolver r(4,t).

Para superar essa dificuldade, ele começou a explorar diversas áreas da matemática além da combinatória, incluindo geometria finita, álgebra e probabilidade. Eventualmente, uniu forças com o pesquisador Sam Mattheus.

Após quase um ano de trabalho, a dupla observou que r(4,t) está intimamente relacionado a uma função cúbica de t.

Em outras palavras, para garantir que em uma festa haja sempre quatro pessoas que se conhecem ou t pessoas que não se conhecem, será necessário aproximadamente t3 pessoas presentes.

Em entrevista, afirmaram que levou anos para resolver esse problema, que, agora, parece simples de pensar.

No entanto, houve muitas ocasiões em que eles encontraram impasses e se perguntaram se era possível encontrar a solução.

Como lição, Verstraete aponta que nunca se deve desistir de um problema, e, eventualmente, ele terá uma resposta. Essa descoberta acrescenta mais um referencial para a Teoria de Ramsay, e pode influenciar jovens matemáticos em outras problemáticas sem solução.

Fonte: Revista Galileu

Imagens: Revista Galileu, Revista Galileu