Matemático de Harvard resolveu problema épico de xadrez de 150 anos

Jogos de tabuleiro estão entre as formas de competições mais antigas do mundo. Você, provavelmente, já jogou algum ou, pelo menos, já se deparou com uma pessoa jogando, em uma praça ou outro lugar. O xadrez é um exemplo claro disso. Ele é um daqueles jogos que se estendem por milhares de anos e faz parte de centenas de culturas.

O xadrez data do século VII, e até hoje o jogo é aclamado. Além disso, é usado em testes de inteligência, estratégia e capacidade de pensar no futuro. Isso porque é necessário calcular bem uma jogada, antes de finalmente realizá-la.

Vendo o jogo em si, ele parece simples. São 64 casas individuais, pretas ou brancas, 16 peças de cada lado e duas pessoas jogando uma contra a outra para conseguir a vitória. Entretanto, o xadrez vai mais fundo que isso.

Xadrez

O jogo dá possibilidades bem complexas e apresenta desafios para os teóricos e matemáticos do xadrez. Nesse sentido, esses desafios podem ficar sem uma solução durante décadas ou até mesmo séculos.

Um desses desafios foi resolvido em julho de 2021. Pelo menos, resolvido até certo ponto. O problema das n-rainhas intriga os especialistas desde que ele foi imaginado pela primeira vez na década de 1840. Foi nele que o matemático Michael Simkin, da Universidade de Harvard,em Massachusetts, se concentrou.

No xadrez, a rainha é a peça mais poderosa do tabuleiro. Ela consegue se mover em qualquer direção e pelo número de casas que quiser. O problema das n-rainhas é: com determinado número de rainhas (n), quantos arranjos são possíveis onde as rainhas estão suficientemente afastadas para que nenhuma delas possa tomar qualquer uma das outras?

Problema

Em um tabuleiro padrão de 8×8, com oito rainhas, a resposta é 92, mesmo que a maioria delas sejam variantes rotacionadas ou então refletidas de somente 12 soluções fundamentais.

Contudo, e quando existem mil rainhas em um tabuleiro de 1.000 x 1.000 quadrados? E um milhão de rainhas? Nesse pensamento, a solução que Simkin deu para o problema é (0,143n) ⁿ ,ou seja, número de rainhas multiplicado por 0,143, elevado à potência de n.

Como resultado, não se tem uma resposta, mas é o mais perto possível de se chegar a ela. Nesse ínterim, com um milhão de rainhas, o número final é como um número com cinco milhões de dígitos depois.

Para que Simkin chegasse a essa equação foram quase cinco anos. A equação tem uma variedade de abordagens e técnicas usadas, além de algumas barreiras no caminho para uma solução.

Em uma última análise, o matemático conseguiu calcular os limites inferiores e superiores de soluções possíveis usando métodos diferentes. Como resultado, ele descobriu que eles quase correspondiam.

“Se você me disser que eu quero que você coloque suas rainhas de tal e tal maneira no tabuleiro, então eu poderia analisar o algoritmo e dizer quantas soluções existem que correspondem a essa restrição. Em termos formais, reduz o problema a um problema de otimização”, explicou Simkin.

Trabalho

A princípio,  Simkin e seu colega Zur Luria, do Instituto Federal Suíço de Tecnologia de Zurique, fizeram uma colaboração em uma variação do problema de xadrez das n-rainhas que se conhece como problema torodial ou modular.

Nesse problema, as diagonais envolvem o tabuleiro, de modo que uma rainha pode se mover diagonalmente para fora da borda direita de um tabuleiro e reaparecer à esquerda.

Assim, a simetria de ataque é garantida para cada rainha. Contudo, não é assim que um tabuleiro de xadrez normal funciona. Até porque, uma rainha no canto do tabuleiro não tem tantos ângulos de ataque quanto uma no centro.

Resolução

No fim das contas, a dupla parou o seu trabalho em conjunto nesse problema toroidal. Contudo, Simkin adaptou algumas das coisas pensadas nele para sua solução final para o problema das n-rainhas.

Conforme os tabuleiros ficam maiores e o número de rainhas aumenta, a pesquisa mostra que, na maior parte das configurações permitidas, as rainhas tendem a se reunirem nas laterais do tabuleiro.

Teoricamente, a resposta mais precisa para o problema das n-rainhas deve ser possível. Contudo, Simkin foi o que chegou mais perto, e ele está contente em passar esse desafio para outra pessoa.

“Acho que posso acabar com o problema das n-damas por um tempo, não porque não haja mais nada a ver com isso, mas apenas porque tenho sonhado com o xadrez e estou pronto para seguir em frente, minha vida”, concluiu ele.

Fonte: Science Alert

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